Relasi Rekursif

1.      1. a - an-1  = 2n2,n 1, dan 0 = 9 Solusi Umumnya adalah……


Pembahasan :

f   (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :
     
            =        A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)  

            =        9 +  (n) (n+1)(2n+1)

2.      Tentukan solusi homogen dari :

bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3

Pembahasan :

Kita ubah dulu bn menjadi α maka
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2

Proses eliminasi:
4    =  A1   +   A2  | x2 |    8   =  2A1 + 2A2
-2  =  4A1 – 2A2   | x1 |   -2   =  4A1 – 2A2
—————- +
6   =  6A1
A1  =  1
A2  =  3  sehingga
an  =  A1a1^n + A2a2^n
=  1(4)^n + 3(-2)^n

3.      3. Diketahui barisan rekursi A₀ = 3 , A₁ = 7 , A₂ = 10. Tentukan nilai A₃ , A₄ , dan A₅ !

Pembahasan :

A₃ = A_3-1 - A_3-2

=A₂    -   A₁

= 10   -  3

A₄ = A_4-1 – A_4-2

    = A₃ - A₂

= 3 - 10

   = -7

A₅ = A_5-1 – A_5-2

= A₄  - A₃

= -7  -   3

  = -10

4.      4. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .a. bn(h) = (-3)n + .2nb. bn(h) = 3n + .2nc. bn(h) = (-2)n + .3nd. bn(h) = (-3)n + .2ne. bn(h) = 3n + .3n !

Pembahasan :

Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.

Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.

Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.

Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .

Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n.

5.      5. Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.

Ditanya : Hitunglah c5 !

Pembahasan :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5

c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12

c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33

c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94

Jadi, c5 = 94

6.      6. Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !

       Pembahasan :

 Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 + 9an-2 = 0.
 Persamaan karakteristiknya adalah
            a2 + 6a + 9 = 0
            (a + 3) (a + 3) = 0
 Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
 Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
            an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
            an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n

7.      An = 3an-1 + 5an-2

Tentukan a2, jika a0 = 2 dan a1 = 1

Pembahasan :
An = 3an-1 + 5an-2
An-3an-1   -   5an-2 =0
C0an-3c1an-1   –   5(2an-2=fcn)
A2=-1/c0(-3c1a2-1  +   (-5) a2-2-0)
=-1/1((-3)a1 + (-5)(2))
=-1(-3+(-10))
=  -1(-13)
=13

8.      8. Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98

Pembahasan :

Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0  a2 = 7 a1 = 7  (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0

sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :

 a3 = 7 a2 = 7 (7pangkat2 a0) = 7pangkat3 a0 ..........dan seterusnya

sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah

 an= 7n (2) , n > 0

9.      Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :

a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 = 0

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen :                        a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 =0.

Persamaan karakteristiknya adalah             a²  +  4 a  + 4 = 0

(a+ 2) (a + 2) = 0

           

Akar-akar karakteristik   a₁ = a₂ = -2 ,  m = 2, Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:

                                      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ

1    10. Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :Untuk semua  bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.Ditanya :  Hitunglah c5 !

Pembahasan :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

• c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
• c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
• c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
• c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94

Jadi, c5 = 94